拉弗曲线告诉了我们：零税率不会增加收入，100%的税率也不会增加收入，因为在这样的情况下，没有人会想去工作，但是中间的某个税率会增加最多的收入。

如果你不得不选择两个提议税收计划的平均值，或者在它们之间抛掷硬币进行选择，很明显平均值通常是最好的。税收并不是唯一具有这种现象的事物，经济学研究的是一系列广泛的“收益递减”现象，这些现象普遍存在于生产、消费和日常行为的许多其他方面。最后，收益递减的一个常见的反面是加速成本：举一个显著的例子，如果你用货币效用的标准经济模型，它们直接暗示经济不平等的两倍，会造成四倍的伤害。

世界不止一个维度

另一个复杂的问题是，在现实世界中，政策不仅仅是一维数字。在两种不同的政策或两种不同的哲学之间进行平均，有很多种方法。一个很容易理解的例子是：假设你和你的朋友想住在一起，但你想住在多伦多，而你的朋友想住在纽约，那在这两种选择之间，你会如何妥协？

好吧，你可以采取地理上的妥协，在两个可爱的城市之间的算术中点享受你们的和平生活。

或者你可以在数学上更纯粹，取多伦多和纽约之间的直线中点，而不必费心。那么，你离那座教堂还很近，但会在它下面6公里处。另一种妥协的方式，是每年在多伦多呆6个月，在纽约呆6个月——这对一些人来说可能是一条切实合理的方式。

关键是，当呈现给你的选项比简单的一维数字更复杂时，弄清楚如何在两个选项之间进行折衷，并真正从两者中取精华，而不是两者中的最差部分，这是一门艺术，也是一项挑战。

这是意料之中的：“凸”和“凹”是最适合数学函数的术语，其中输入和输出都是一维的。而现实世界是高维的——正如机器学习研究人员现在已确定的那样，在高维环境中，最常见的情况是，你可能会发现自己所处的环境不是一个普遍的“凸”或“凹”的环境，而是一个鞍点（Saddlepoint）：局部区域在某些方向上是“凸”的，而在其他方向则是“凹”的。

鞍点：从左到右为凸，从前到后为凹

这可能是关于“为什么在某种程度上都需要这两种倾向”的最好数学解释：世界不完全是“凸”的，但也不是完全是“凹”的。但在任意两个遥远的位置A和B之间，存在某种凹路径是非常有可能的，如果你能找到那条路径，那你通常可以在这两个位置之间找到一个比两者都好的综合位置。